Построение мира образов линий путем расширения одного отображения типа «прямая—точка». Вып. 3. Прообразы линий

Г. В. Рыбалко

Построение мира образов линий
путем расширения одного отображения типа «прямая—точка»

Выпуск 3
Прообразы линий


Как следует из (1), прообраз может быть восстановлен из пары выражений для x и y:
v = x(u) + u y'(u). (2)
Если образ имеет лишь явную обратную функцию x = g(y), прообраз также может быть восстановлен. Дифференцируя по u это уравнение после подстановки в него выражений для x и y из (1), приходим к уравнению относительно v': g'(v') = –u. Из него можно получить однопараметрическое семейство решений исходного уравнения. Решение, содержащее константу интегрирования, необходимо подставить в исходное уравнение и определить значение этой константы.

Примеры

1. Прообраз степенной функции (y = x↑m): v = (1 – m)/m(–mu)↑(1/(1 – m)).
2. Прообраз экспоненты (y = exp(x)): v = –log(–u)) – 1.
3. Прообраз логарифма (y = log(x)): v = –u log(–u)) – u.
4. Прообраз синуса (y = sin(x)): v = ±((u² –1 )↑½ – u arccos(|1/u|).
Отметим, что прообраз логарифма отличается от прообраза экспоненты множителем, равным аргументу.

Как следует из (2), центр пучка прямых, образ которого совпадает с предельной прямой образов из примера 3, лежит в точке (1; 0).