Математический Мир искусства графики

Геннадий Рибалко
Математический Мир искусства графики,
или
Пространство образов линий

В книге выдающегося популяризатора науки Якова Исидоровича Перельмана «Занимательная физика» можно увидеть фотографию, которая демонстрирует, как видит мост рыба (глядя из глубины воды, естественно): параллельные линии моста для неё симметрично изогнуты. Дело в том, что лучи света претерпевают преломление на границе воды и воздуха, так что образы надводного мира приходят к рыбе вот такими – искаженными: прямые для неё кривы!
Для художника-графика исходным служит линия, а не точка, как это имеет место в обычной, «школьной» геометрии (не думает художник, что, рисуя линию, ставит одну за другой бесконечное множество точек!). Он и оперирует линиями, а это значит, что для него линия – атом некоего пространства графики…
Но тогда совсем другая геометрия живет в мозгу художника-графика! Это особый Мир искусства графики – со своими собственными и, надо думать, особенными законами.
Чтобы выяснить, каковы же они, нужно шагнуть вперед… Если прямая нашего обычного Мира соответствует точке Мира графики, то чему там соответствуют кривые (гиперболы, параболы, эллипсы, экспоненты и многие, многие другие – с названиями или безымянные)? Существуют ли выделенные прямые, образы которых лежат на них самих и какую линию составляют эти точки–образы? Как меняются графические образы линий при их перемещении? Если мы производим операции над линиями, что происходит в Мире графических образов? Что представляет собой образ совокупности линий? Любая ли линия может быть графическим образом? И не имеют ли все, какие только возможны, образы неких общих, характеристических свойств?
На все эти вопросы у меня есть ответы: конкретные формулы и математические положения.
А чему соответствует в Мире графических образов обычная точка? Конечно же, прямой. Однако простого дуализма нет… Потому что, перейдя от точки к прямой в этом Мире, а затем, наоборот, от этой прямой к точке обычного Мира, мы не попадаем в исходную точку. Однако, проделав эту пару взаимообратных преобразований трижды, таки получим тождественное преобразование, т. е. таки попадем в исходную точку. (Таким образом, можно говорить, что произведение нашего оператора на обратный к нему приводит к некоему аналогу корня кубического из единицы, точнее – единичного оператора.)
И вопрос прагматика: а как Мир графических образов может помочь нашему обычному Миру?
Прежде всего, с помощью Мира образов уже можно говорить о расстоянии между линиями – подобно тому, как в обычном Мире мы говорим о расстоянии между точками.
Но, кроме того, с помощью Мира графических образов можно оценить кривую,
т. е. определить, в какой мере она крива (для математиков-педантов уточним: не её кривизну в какой-либо точке, а сразу линии в целом). Иначе говоря, можно рассматривать уровень непрямолинейности линии и на этом пути линия того или иного типа (круг, эллипс, парабола, гипербола или кривая вероятности) получает числовую характеристику. Таким образом появляется возможность сравнивать линии количественно.
Мир графики позволяет определить удивительное произведение двух функций (процедура определения такова: переход в Мир графики, осуществление там традиционного произведения и возврат в обычный Мир). Вот его неожиданные и неочевидные свойства.
«Образное» произведение некоторой функции на функцию, обратную к ней (примеры: квадрат и корень квадратный, логарифм и показательная функция, еще называемая экспонентой), «почти» равно их обычному произведению в том смысле, что отличается от него во всех случаях на одну и ту же функцию – независимо от вида перемножаемых функций.
Далее, в обычном Мире только 0 и 1 дают в квадрате сами себя. А в образном Мире корень квадратный из нуля или единицы – не только они сами, но и целое семейство функций.
И еще один любопытный «образный» факт: корень из –1, который, как мы знаем, называется мнимой единицей и обозначается через i, в образном Мире дополняется еще одним значением. Это дополнительное значение – целая функция, причем обычная, не комплексная!
А сумма «образного» корня квадратного из числа a и «образного» корня из числа
–a некоторыми своими листьями совпадает с «образным» корнем из 0.
В обычном Мире к любой функции, кроме нулевой, имеется лишь тривиальный «перпендикуляр» (по определению, перпендикуляр – функция, которая, будучи умноженной на заданную, даст в результате 0). Это, конечно же, не что иное, как всё тот же 0, или ось абсцисс системы координат. (Да... совсем не то, что в «школьной» геометрии, где к каждой линии – целое семейство перпендикуляров: индивидуальный перпендикуляр в каждой точке линии.) А вот в образном Мире с его своеобразным произведением каждая функция имеет ещё и свой персональный, притом нетривиальный перпендикуляр. Эта, разумеется, ненулевая функция, будучи умноженной на исходную, даст в результате 0.
И нам остаётся лишь позавидовать художникам-графикам, которые живут
в таком удивительном мире… даже если они об этом не догадываются!